ASP.NET Web Forms アプリの場合、サーバーコントロールが HTML 要素としてレンダリングされた際、その要素の id 属性の値を取得するのに ClientID プロパティを利用できます。

なので、<%=TextBox1.ClientID%> というようにコード表示ブロックを使って、インラインのスクリプトに TextBox1 が HTML 要素に変換された時の id を埋め込むことができます。

例えば Datepicker を使いたい場合、$('#<%=TextBox1.ClientID%>') として TextBox1 の jQuery オブジェクトを取得し、それに datepicker() メソッドを適用することで可能になります。

ASP.NET MVC アプリではそれと同様なことはできないと思っていたのですが、MVC4 以降には Html ヘルパーに IdFor メソッドが用意されていて、それを使えば可能なことが分かりました。今さらながらですが（汗）、その具体例を書いておきます。

以下のような View のコードからは、

for (int i = 0; i < Model.Children.Count; i++)
{
  @Html.LabelFor(m => m.Children[i].Name)
  @Html.EditorFor(m => m.Children[i].Name)
  @Html.ValidationMessageFor(m => m.Children[i].Name)
        
  @Html.LabelFor(m => m.Children[i].DateOfBirth)
  @Html.EditorFor(m => m.Children[i].DateOfBirth)
  @Html.ValidationMessageFor(m => m.Children[i].DateOfBirth)
}

以下のような html ソースがレンダリングされます。（i = 0 のもの）

<label for="Children_0__Name">Name</label>
<input class="text-box single-line" 
  id="Children_0__Name" name="Children[0].Name" 
  type="text" value="" />
<span class="field-validation-valid" 
  data-valmsg-for="Children[0].Name" 
  data-valmsg-replace="true">
</span>
<label for="Children_0__DateOfBirth">DateOfBirth</label>
<input class="text-box single-line" data-val="true" 
  data-val-date="DateOfBirth は日付である必要があります。" 
  data-val-required="DateOfBirth フィールドが必要です。" 
  id="Children_0__DateOfBirth" name="Children[0].DateOfBirth" 
  type="datetime" value="0001/01/01 0:00:00" />
<span class="field-validation-valid" 
  data-valmsg-for="Children[0].DateOfBirth" 
  data-valmsg-replace="true">
</span>

上記の通り HTML 要素の id は予測不能ではないものの、それをスクリプトにハードコーディングするのはやめた方がよさそうです。（命名規則が変わるかもしれないので。そのあたりの事情は ASP.NET Web Forms アプリでも同じです）

Html.IdFor メソッドを使えば HTML 要素の id を取得できます。なので、例えばテキストボックスに Datepiker を適用したい場合は、以下の for 文のようにします。（MVC4 のテンプレートでアプリを作った場合です。for 文の上の 3 行はクライアント側での検証用スクリプト、jQuery UI 用のスクリプトと CSS です）

@section Scripts {
  @Scripts.Render("~/bundles/jqueryval")
  @Scripts.Render("~/bundles/jqueryui")
  @Styles.Render("~/Content/themes/base/css")

  @for (int i = 0; i < Model.Children.Count; i++) {
  <script type="text/javascript">
  //<![CDATA[
    $("#@Html.IdFor(m => m.Children[i].DateOfBirth)").
        datepicker();
  //]]>
  </script>
  }
}

すると、上記 for 文のコードによって以下のようなスクリプトが生成されます。（script タグは一つにしたかったのですが、その方法が見つかりませんでした。（汗）　方法が分かったら追記します）

<script type="text/javascript">
//<![CDATA[
  $("#Children_0__DateOfBirth").datepicker();
//]]>
</script>
<script type="text/javascript">
//<![CDATA[
  $("#Children_1__DateOfBirth").datepicker();
//]]>
</script>

その結果をブラウザに表示したのが上の画像です。

（name 属性の値を取得したいというケースもあるかもしれませんが、そのための Html ヘルパー NameFor も用意されているそうです。ご参考まで）